角球數量適合用泊松模型嗎？
泊松模型可以做一個清楚、容易檢查嘅角球 baseline， 但目前 HKBetNet 2026/27 早段免費快照 N=146， 平均總角球係 9.80，方差就有 13.46。 普通泊松要求平均值同方差接近， 而目前方差／平均約 1.37， 顯示角球分布比最簡單泊松更闊。 所以答案唔係「泊松一定啱」或者「泊松完全唔得」， 而係：可以當 baseline，但要檢查 overdispersion、尾部同樣本外概率表現。
直接答案：泊松適合做基準，但目前角球方差偏高
如果 X 服從 Poisson(λ)，理論上：
E[X] = Var(X) = λ
目前角球平均係 9.80， 但方差去到 13.46， 相差唔細。 呢個係一個清楚嘅 overdispersion 訊號。
普通泊松模型實際假設咗咩？
如果用總角球 C 做 Poisson：
P(C=k)=e^(-λ) λ^k / k!
模型只需要一個 λ， 就可以計 0、1、2……每一個總角球數嘅概率。 呢個好處係簡單、可解釋，而且可以直接累加成 9.5、10、10.5 等盤口事件。
但代價亦好清楚： Poisson 將平均值同方差綁死。 如果實際角球有更多極低、極高比賽， 模型就可能低估尾部。
目前數據點樣同 Poisson 假設比較？
| 指標 | 目前實際 | Poisson λ=9.80 應有 |
|---|---|---|
| 平均 | 9.80 | 9.80 |
| 方差 | 13.46 | 9.80 |
| 標準差 | 3.67 | 3.13 |
| 方差／平均 | 1.37 | 1.00 |
目前實際標準差 3.67， 比 Poisson baseline 3.13 高約 17.2%。 即模型如果只靠 λ=9.80， 可能會將分布畫得太窄。
方差／平均 1.37 代表咩？
Dispersion Ratio = Var(C) / E(C) = 13.46 / 9.80 = 1.37
Ratio 接近 1，比較符合普通 Poisson； 明顯大過 1 就叫 overdispersion。 目前 1.37 即方差比平均高約 37.3%。
但呢個只係第一層診斷。 全體樣本混合五大聯賽、唔同球隊同唔同 λ， 就算每場條件分布本身接近 Poisson， 混合之後亦可以自然出現更大方差。 所以 aggregate overdispersion 唔等於「每一場都唔適合 Poisson」。
五大聯賽方差差幾遠，可以配合 不同聯賽的角球分布一樣嗎？ 一齊睇。
Poisson 喺 9.5 線附近睇落又幾接近，點解仍然唔代表模型已經合格？
用 λ=9.80 嘅普通 Poisson， 大於 9.5 即 C≥10 嘅 baseline 概率約：
P(C ≥ 10) ≈ 51.7%
而目前歷史實際大於 9.5 比例係 50.0%。 單睇呢一條線，兩個數字幾接近。
9.5、10、10.5 三條線點樣由同一分布切出嚟， 可以去 角球 9.5、10、10.5 有咩分別？。
角球點解可能比普通 Poisson 更分散？
幾個合理來源包括：
- 唔同球隊本身角球強度 λ 差好遠；
- 主場同作客平均角球唔一樣；
- 五大聯賽角球環境有差；
- 比數狀態、紅牌、追分同戰術改變會令場內 λ 唔固定；
- 高壓進攻比賽可能同時帶來更多射門同角球；
- 極端比賽令尾部比單一 Poisson 更厚。
主客場差異可以睇 主場同作客會影響角球數量嗎？； 射門同角球關係就可以睇 射門數同角球數有冇關係？。
如果普通 Poisson 太窄，可以考慮咩？
一個常見方向係 Negative Binomial， 因為佢容許方差大過平均值。 另一個方向唔一定要換分布， 而係先將 λ 拆得更仔細： 球隊、對手、主客場、聯賽同時間衰減各自進入 λ， 減少由「將好多不同強度混埋」造成嘅假 overdispersion。
所以模型比較應該係：
Simple Poisson vs richer λ model vs overdispersed count model
邊個好唔應靠 in-sample fit 決定， 而係睇未見比賽概率表現。
點樣正式判斷角球 Poisson 模型夠唔夠用？
| 檢查 | 要回答嘅問題 |
|---|---|
| 完整計數分布 | 0–20+ 各角球數有冇系統高估／低估 |
| 方差診斷 | overdispersion 有幾嚴重 |
| 盤口 Calibration | 報 55% 嘅大盤長期係咪接近 55% |
| Brier / Log Loss | 概率分布有冇比簡單 baseline 更好 |
| Walk-forward | 改善係咪喺未見比賽仍然存在 |
如果模型只係 in-sample 貼得靚， 但樣本外冇改善，就冇理由增加複雜度。 HKBetNet 整體回測原則可以睇 編輯與研究方法。
編輯研究經驗：最容易犯嘅錯，係見均值差唔多就話 Poisson 已經啱
HKBetNet 做角球模型 QA 時， 平均 9.8 只係第一關。 真正麻煩通常喺尾部： 低角球場同 14、15、16+ 角球場有冇被模型低估。
第二個錯法係用全體 λ=9.8 代表所有比賽。 一場低節奏意甲同一場高壓德甲， 本來就唔應該共享同一個固定 λ。 將條件差異拆開之後， overdispersion 有機會縮細。
球隊層面 λ 點樣建立，可以再睇 球隊開出角球大細點樣計？； 近期資料權重則由 最近角球數據真的有預測作用嗎？ 處理。
研究依據
本頁主要用 Poisson 計數分布作 baseline， 再用 proper scoring rule 同樣本外驗證判斷模型質量。 引用只支持方法原則，唔替代 HKBetNet 自己嘅角球資料檢驗。
限制與不能推出的結論
- 目前 N=146 只係 2026/27 賽季早段快照，方差／平均 1.37 之後可以改變。
- aggregate overdispersion 可能部分來自五大聯賽、球隊、主客場同不同 λ 混合。
- λ=9.80 Poisson 喺大 9.5 附近同實際比例接近，唔代表整個分布已經校準。
- Negative Binomial 等替代模型只係候選方案，未做樣本外比較之前唔應宣稱一定較好。
- 普通 Poisson 係可解釋 baseline，唔係足球角球嘅自然定律。
- 歷史頻率、模型概率同市場賠率係三個不同概念。
- 模型概率唔係投注建議，更加唔係保證盈利。